УРАВНЕНИЕ УДАРА РАКЕТКИ

6. Вывод уравнения удара

Формулой удара ракетки будем называть функциональную зависимость скорости отскока мяча от скорости разгона бью­щей по нему ракетки, т.е. зависимость вида U_u -f (V_p), в кото­рой U_u — скорость мяча сразу же после удара, V_p — скорость ракетки непосредственно перед ударом. Как и раньше мы бу­дем рассматривать только плоские удары, характеризующиеся тем, что а) вектор скорости ракетки S момент удара перпенди­кулярен ее СПР и б) вектор скорости отскочившего мяча пер­пендикулярен СПР и совпадает с вектором скорости ракетки в момент удара. Для прямого центрального удара 2-х упругих тел скорости отскока можно определить из законов сохране­ния энергии и импульса, рассматривая в качестве одного из сталкивающихся тел ракетку, а другого — мяч. Вот формулы, приведенные на стр. 142 «Краткого справочника по физике» Г. Эберта [8].

у; = (m₁V₁ + m₂v₂ — em₂ (V, — V₂))/(m₁ + m₂);                                              (7.1)

V₂ = (m₁V₁ + m₂V₂ + em₁ (V, — V₂))/(m₁ + m₂);                       0.2)

где — m₁,m₂ — массы сталкивающихся тел; V₁, V₂, VJ, V₂ — скорости тел до и после отскока; е — коэффициент удара, определенный в главе 5.

Введя обозначения: /п_} = М — масса ракетки; е = е₃~ коэф­фициент удара для «тройной пружины»: СПР, мяч и обод; m₂ = m — масса мяча; У, = V_p — скорость ракетки перед ударом; У₂ = У_м — скорость мяча перед ударом; У/ = U_p — скорость ракетки после удара; V₂ = ІІм — скорость мяча после удара, мы получим уравнения плоского удара для системы ракетка — мяч.

Um = (MV_p + шУ_м + е₃ m(V_p — VJ) /( М + т) (7.3)

Однако на это уравнение изначально наложено столько ус­ловий, что в реальных ситуациях теннисных ударов вряд ли их можно будет выполнить. Кроме упомянутого выше усло­вия плоского удара, которое при некоторых ударах выполни- ется, на систему наложено условие прямого центрального уда­ра, то есть тела должны двигаться в направлении ударных нор­малей, причем нормали должны проходить через центры масс обоих тел. Такую ситуацию можно реализовать разве что в невесомости, в действительности же ракетку держит за ручку теннисист, следовательно, в ударе участвует не только масса ракетки, но и масса руки теннисиста, а иногда и масса его корпуса. Кроме того, мяч практически никогда не ударяется в центр тяжести ракетки (за исключением редких случаев, ког­да точка баланса ракетки совпадает с центром СПР). Следова­тельно, данное уравнение удара можно использовать лишь тогда, когда, при соблюдении всех прочих условий, удается заме­нить массу ракетки некоторой приведенной к точке удара мас­сой Мп, учитывающей участие в ударе всех масс: руки, ракет­ки, корпуса’.

Применим сначала данную формулу удара для подачи, ког­да V_u =0. Получим из 7.3

Um = Мп V_p + е₃ Мп V_p /( Мп + т) = Мп V_p (1+ е₃)/( Мп + т) =

V_p (1+ е₃)/( 1 + т/Мп)                                                            (7.4)

Или в другом виде Um = V_p (1+ (е₃ — т/Мп)/(1 + т/Мп)). Обо­значая

^еэф ⁼ (^ез ~ т/Мп)/(1 + т/Мп),                         (7.5)

приведем формулу к каноническому виду (формуле удара по неподвижному объекту).

UM=V_f(1*e,_t)                                    ^<7‘⁶⁾

В полученных формулах е, — это коэффициент удара «трой­ной пружины» (мяч, обод, СПР), когда ракетка ни с чем не связана (находится в свободном состоянии), векторы скорости мяча и ракетки взаимно параллельны и перпендикулярны СПР, а удар происходит точно в точке перкуссии; е_зф — эффектив­ный коэффициент удара системы мяч-ракетка-теннисист, учи­тывающий работу биомеханического аппарата спортсмена (БАС), т.е. ракетка связана с рукой и корпусом спортсмена. Такое представление эффективного коэффициента удара е_зф позволяет решать уравнение удара чисто вычислительными ме­тодами без сложных и дорогостоящих экспериментальных из­мерений.

Формула подачи 7.6 на вид элементарная, но воспользо­ваться ей трудно. Во-первых, мы не знаем как найти Мп, а во- вторых, как было показано выше, коэффициент е₃ является функционалом, поэтому и формула подачи является функци­оналом. Решение этого функционала возможно только в неко­тором приближении и для некоторых ограниченных условий.

Будем рассматривать функционал е₃ как переменный пара­метр для некоторых прогнозируемых скоростей V = V_omH и определять его значения по формуле 5.8 или из графиков рис. 5.6 и 5.7 (штриховые линии) для соответствующих парамет­ров ракетки. Осталось определить Мп. Рассмотрим рисунок 7.1, на котором схематично изображен теннисист, выполняю­щий подачу и некоторые геометрические параметры, не нуждающиеся в пояснении.

Приведенная к точке удара масса — эта та инерциальная величина, которая дей­ствует на силы (в данном случае ударные), приложенные к точке удара. Следователь­но, при ударе (рука с ракеткой без учас­тия корпуса) можно записать

Fb = l_p+pdaVdt и F = M_n-dVJdt,

где F- сила удара ракетки по мячу, /        —

момент инерции биомеханической систе­мы рука-ракетка относительно оси враще­ния в плечевом суставе, со — угловая ско­рость биомеханической системы рука-ра­кетка, со — V_p/b. Дифференцируя последнее выражение, получим daVdt= 1/b dV_p/dt. Подставляя в эту фор­мулу значения производных и исключая F, найдем выражение для приведенной массы Мп = /_р+р /Ь².

Рис. 7.2 — звенная модель человеческого тела: справа — способ деления тела на сегменты и масса каждого сегмента (в % к массе тела); слева — места расположения центров масс сегментов (в % к длине сегмента)— см. табл. 7.1 (по В. М. Зациорскому, А. С. Аруину, В. Н. Селуянову).

Момент инерции биомеханической системы рука-ракетка I можно приближенно определить по следующей формуле: Vp ~ ^i^ri^{2 +} ^2^Г2 ⁺ М/₃²⁺ М₄г₄², в которой М₁ м₂ М₃ М₄— массы плеча, предплечья, кисти и ракетки, а г₁, г’г₃ г₄~ расстояния от оси вращения в плечевом суставе до центра масс плеча,

Рис. 7.2

локтя, кисти и ракетки, соответственно. Данные о биомехани­ческих параметрах руки берем из книги Уткина В. Л. [14].

Таким образом, все формулы получены и можно присту­пать к расчету. Определим сначала Мп. В книге [14] приведе­на формула для определения масс частей человеческого тела: Мх = В + ВМ + В„Н , где Мх — масса искомого сегмента тела, М_т — масса человека, Н_т — рост человека, В₀ ,B_f, В₂ — таблич­ные коэффициенты. Расстояния г_} , г₂ г₃ г₄ от оси вращения в плечевом суставе до центра масс плеча, ‘локтя и кисти можно определить используя иллюстративные данные книги [14] (рис. 7.2). Для теннисиста ростом Н_Т = 180 см и весом М_т = 80 кГ, используя рис. 7.2, получим следующий набор данных (таб­лица 7.1).

Определим момент инерции биомеханической системы рука- ракетка 1_р+р) используя данные таблицы 7.1.

Таблица 7.1 № Наименование частей БАС Мх, кГ Г, м (от плеча) Г, м (от земли) 1 Плечо 2.16 0.135 1.6 2 предплечье 1.28 0.42 1.9 3 к-с,» 0.48+0.03р 0.672 2.17 4 Ракетка .. ~ ■ 0,3-0.03р 0.939 2.44 5 Голова 5,52   1.6 6 верхний отдел туловища 12,72   1.3 7 средний отдел туловища 13,04   1.1 8 нижний отдел туловища 8,96   0.85 9 Бедро 11,36   0.8 10 Голень 3,44   0.36 11 Стопа 1,12

 

/     = 2.16 0.135*2 +1.28-0.42*2+ 0.51 0.672*2+0.27 0.939*2 =

р+р

0,734 кГм²

Приведенная к точке удара масса биомеханической системы рука-ракетка

^Мпр+р= = 0.734 /1.084^Л2 = 0,62кг.

Таким образом, формула удара для биомеханической систе­мы рука — ракетка «среднестатистического» теннисиста будет иметь вид:

1/м_р+р = V (1+ е₃)/( 1 + 0.057/0.62) = V_p (1+ е₃)/1.09 — 0.92V_p е₃/

Другой вид формулы им_р+р~ V (1+ е_эф), в которой

е_зф — (е₃ — 0.09)/( 1 + 0.09) = fe₃ — 0.09)/1.09.

Определим, например, какая будет скорость подачи, если теннисисту удалось разогнать ракетку до 150км/час. Сначала

найдем е₃ для этой скорости. Это можно сделать или по фор­муле 5.8, подбирая соответствующие параметры ракетки, или по графикам рис. 5.6 и 5.7. Допустим, для каких-то парамет­ров ракетки на скорости 150 км/час мы получили е₃ = 0.3. Тогда им_р+р~ 0.92V_p (1+ е₃) = 179,4 км/час.

Однако полученная зависимость носит чисто иллюстратив­ный характер, т.к. БАС состоит не только из руки, в подаче принимает участие весь корпус теннисиста, который, по мне­нию многих исследователей, является «фундаментальной ки­нематической цепью, передающей энергию нижних конечнос­тей в ударной фазе до бьющей руки» [15].

Используя ту же методику, найдем формулу удара для био­механической системы корпус-рука-ракетка, то есть когда пода­ча’ производится с участием движения корпуса теннисиста. Момент инерции биомеханической системы корпус-рука-ракетка /*=(2.24+6.88) 0.36*2+22.72 0.8*2+8.96-0.85*2 + (13.04 + 1.76)-1.1*2 + (12.72 + 2.16)-1.3*2 + 5.52-1.6*2 + 2.16-1.6*2+1.28-1.9*2+0.51-2.17*2+0.27-2.44*2 = 93,54 кГм² .

Мп_к = 1_к/с² = 93,54 /2.64*2 =13кГ, а т / Мп = 0.057/13 = 0,00438

Um_k~ V_p (1+ е₃)/( 1 + 0,00438) = 0,99564V_р (1+ е₃).

Для е₃ = 0.3 и V_p = 150км/час получим Um_k~ 194км/час. (На 15 км/час увеличили скорость за счет корпуса).

Определим теперь формулу для ударов с лета. Для этого необходимо: а) ввести в формулу скорость мяча так как для указанных ударов чаще всего V_M Ф 0; б) найти новые зна­чения Мп исходя из работы БАС при этих ударах. Условие а) легко выполнится использованием формулы 7.3.

Um = (V_p(1+ є₃) — V_H (е₃ — т/Мп))/(1 + т/Мп), в которой V_u надо брать со знаком минус, учитывая знаки векторов скорос­тей мяча и ракетки.

Um = (V_p(1+ е₃) + V_u (е₃ — т/Мп))/(1 + т/Мп) (7.4)

Осталось определить Мп. Так как удар с лета выполняется в большинстве случаев прямой рукой и слабым участием кор­пуса, то тогда подойдет значение Мп для подачи (без участия корпуса), то есть Мп_р+р= 0.62 кГ. Формула удара с лета для среднестатистического игрока примет вид

UM_n= 0.92(V_p(1+ е₃) + (е₃ — 0.09) VJ

 

Проделаем те же операции для форхен- да. При определении Мп для форхенда вос­пользуемся схемой, изображенной на рис. 7.3.

В этом случае, если не учитывать работу корпуса, то есть при т.н. безопорном уда­ре, приведенная масса получится равной Мпр*рф ~ 1р+рф/Ь² ~ 0.7кГ (расчет не приводит­ся), а т/Мпр*рф = 0.08. Формула удара для форхенда имеет вид

им_р+рф = 0.926-(V_p(1+ е₃) * V (е₃ — 0.08)).

(7.6)

Если учесть работу корпуса (см. рис.7.5), то расчеты дают значение Мп_кф ~ 4кГ и т/ Мп_кф =0.014. Формула удара для форхенда с учетом корпуса

им_кф = 0.986-(V_p(1+ е₃) + V (е₃ — 0.014))