Кпд кратного удара

Рассмотрим теперь определение коэффициентов удара крат­ного удара: мяча, СПР и обода ракетки. Естественно возника­ет вопрос, можно ли найти коэффициент удара двух сталкива­ющихся тел по известным индивидуальным коэффициентам удара этих тел, то есть найти зависимость e_f+2 = f (е₁, е₂)? Так как коэффициент удара зависит от упругости тел, то в это уравнение нужно каким-то образом внести модули упругости сталкивающихся тел, т.е. записать e_f+2 = f (e_v £_t, е₂, Е₂).

Для того чтобы понять физику взаимодействия двух и бо­лее упругих тел рассмотрим совместную работу обычных сталь­ных пружин. При одинаковой длине пружин L сравнивать их жесткость можно по степени сжатия (растяжения) под дей­ствием одной и той же силы F, т.е. по коэффициенту жесткос­ти к = F/Ay.

На рис. 5.3 первоначальное положение пружины изображено сплошными линиями, а после сжатия — пунктирными. Мож­но показать, что коэффициент же­сткости к для пружин одинако­вой длины, подвергающихся воз­действию одинаковыми силами, это аналог модулю Юнга для монолитных тел. Если пружины соединены последовательно, то их общий коэффициент жест­кости подсчитывается по формуле

Если пружины соединены параллельно, то их общий коэф­фициент жесткости равен сумме коэффициентов жесткости отдельных пружин к =   к₂+ к₃+….+ к_п.

Теперь определим к какому типу соединения упругих тел относится мяч, обод и СПР при их совместной работе во вре­мя удара. При параллельном соединении пружин выход одной из них не повлияет на работоспособность системы, просто уменьшится ее упругость. Последовательное соединение упру­гих тел характерно тем, что при выходе любого из них система не б\дет функционировать как упругое тело. Действительно, если порвется СПР или мяч, или сломается обод ракетки, то система выйдет из строя. Следовательно, мяч, СПР и обод при ударе работают как последовательно соединенные упругие элементы, а это в свою очередь означает, что при ударе наи­большие энергетические затраты приходятся на наименее жес­ткий элемент, т.е. работает наиболее мягкая пружина.

Характерен такой пример, иллюстрирующий работу после­довательно соединенных’ пружин. Когда в 70-х годах в Союзе начали выпускать Жигули, то многим автолюбителям показа­лись рессоры итальянского авто слишком мягкими для наших дорог и люди начали ужесточать их, заполняя рессорные пру­жины теннисными мячами. С прилавков сразу же исчезли и без того дефицитные в ту пору мячи «Ленинград». Однако пострадали не только теннисисты, но и находчивые водители: жесткость рессор значительно увеличилась, и они перестали работать на амортизацию ударов. Смягчать удары начали шины автомобиля, ставшие более мягкими чем укрепленные рессо­ры, и как следствие «резина» стала изнашиваться гораздо рань­ше положенного срока. Когда автолюбители поняли, что бо­лее мягкая в последовательном соединении рессорная пружи­на при ударе автомобиля о дорогу сжимается больше, поэтому больше работает и, следовательно, меньше изнашивается ко­лесо, мячи снова появились на прилавках.

Однако вернемся к ракетке и ее коэффициенту восстанов­ления. Рассмотрим сначала взаимодействие только двух пру­жин: мяча и СПР, т.е. когда обод ракетки при ударе мяча крепко прижат к бетонному полу. При ударе мяча о СПР вся его кинетическая энергия mW2 переходит в потенциальную сжатия мяча К и растяжения СПР W_cnp— Энергию сжатия (растяжения) можно определить из таких соображений. Сила сжатия (растяжения) находится из уравнения k = F/Ay, т.е.

F = к Ау. Так как при ударе сила нарастает постепенно от нуля до максимального значения, то, в общем случае перед к необ­ходимо поставить интеграл или, при линейном нарастании силы, коэффициент 0.5 (опустим его, т.к. он не влияет на
дальнейшие вычисления). Как известно энергия сжатия опре­деляется уравнением W = F А у = F² / к. Из этого соотношения видно, что энергия удара обратно пропорциональна жесткос­ти, так что можно записать W_cnp/W_u = к / к_спр. Это не проти­воречит предыдущим выводам: работает более мягкая пружина.

Полученная энергия сжатия мяча и СПР далее будет преоб­разовываться в энергию отскока мяча, притом пропорциональ­но кпд отскока, так что W_cnp = W_cnp rj_cnp) a W_M = IV, rj_u. Энер­гия отскока мяча находится как сумма этих энергии

Общий кпд удара системы мяч ношения

TJm+СПР =

где £_спр = к_спг/к_м. Так как е_и задача решена.

Проверим полученное выражение на выполнение гранич­ных условий. Как было заявлено выше, если один из соударя­ющихся объектов является абсолютно жестким телом, то по­лученный в результате удара коэффициент удара будет коэф­фициентом удара второго тела. Допустим что СПР является абсолютно жестким телом (к_спр —>        rj_cnp = 1), -тогда должно

выполнятся равенство г) = ті., или                          = е..

 

ткость мяча, поэтому при столкновении таких тел коэффици­ент удара будет полностью определятся коэффициентом удара мяча, т.е. е_м+спр = е_и. Подставляя в 5.6 к_и = 0, получим Т)_и+спр — т]_и и, соответственно, е_м+слр = е_м.

Формулы 5.6 и 5.7 получены для случая, когда в ударе уча­ствуют только мяч и СПР, на самом же деле в ударе участву­ют тр і упругих элемента: мяч, СПР и обод ракетки.

Вывод формулы для 3-х элементов совершенно аналогичен предыдущему, поэтому здесь он не приводится. Вот конечный

результат.        ^ цнкспрко + rjcnpк»ко + rjokcnpkи                                                   „ч

г/м * спр * о                            кспр ко + ки ко + кспр ки

Если выразить жесткость СПР и обода ракетки в долях от жесткости мяча, то ползшим

Г/и + СПР + о

где     = К/К ’ а К и г)_о~ коэффициент жесткости и кпд удара

обода ракетки. Само собой разумеется что = Vrj_u+cnp+o = е_м+спр+о. Обозначим для краткости е_м+слр+о = е₃ а /?_м+слр+0 = rj₃, где ин­декс указывает на то, что в ударе участвуют три упругих эле­мента. Естественно, что этот кратный коэффициент удара (или коэффициент восстановления) получен без учета связи, изоб­раженной на рис. 5.1, т.е. он характеризует несвязанный крат­ный удар. Экспериментально измерить его очень трудно, т.к. нужно каким-то образом устранить связь ракетки, которая в той или иной мере влияет на величину коэффициента удара. Надо также заметить, что е₃ не эквивалентен Apparent Coefficient of Restitution (ACOR), который получают экспе­риментально с участием связей (рука или нити) [2], что ведет к проблемам воспроизводимости эксперимента, т.к. точно по­вторить параметры руки (вес, сила сжатия ручки ракетки) и нитей (расположение, длина) достаточно сложно.

Полученный расчетным путем «чистый» (т.е. без всяких связей ракетки) коэффициент восстановления е₃ может быть использован для анализа теннисных ударов, в чем легко убе­диться из дальнейшего текста. Влияние же связи ракетки с теннисистом, как будет показано в главе 7, легко учитывается при помощи приведенной массы. Это влияние выразится в изменении величины коэффициента е₃, причем новый коэф­фициент удара с учетом связи обозначается как е_эф. Здесь же теоретически получена формула коэффициента кратного уда-

ра е₃, связавшая его с жесткостью и коэффициентами удара всех трех упругих элементов, участвующих в ударе. Это по­зволяет найти аналитическую зависимость коэффициента уда­ра е₃ от взаимной скорости соударяющихся объектов.

Покажем теперь, что уравнение 5.7 является частным слу­чаем общего уравнения 5.9. Допустим, что имеем абсолютно жесткий обод ракетки (прижатый к полу), для которого к_о —> °° и Г]_о = 1. При этих условиях в столкновении работают только мяч и СПР, т.е. rj_u+cnp+o = т]_и+спр ■ Подставляя значения к_о = г]_о = 1 в 5.9 и раскрывая неопределенность получим выраже­ние полностью совпадающее с 5.7.

Проанализируем переменные, входящие в формулу 5.8. Начнем с коэффициентов жесткости.