Особые точки ракетки

Как у любого инструмента, используемого людьми для рас­ширения своих физических возможностей, у ракетки также имеются своеобразные места или области, определяющие ее механические характеристики и свойства. Пожалуй впервые в мировой научной литературе (в конце 60-х годов прошлого века) подробное математическое описание замечательных то­чек ракетки сделал Агашин [1]. Еще в те годы он дал четкое определение понятия «сладкого пятна» (сладкой точки), как места, при ударе которым по мячу у теннисиста создается ощу­щение, «что ракетка есть продолжение руки, или будто он бьет не ракеткой, а собственной ладонью…». Это ощущение
приносит некоторое удовольствие игроку (нет отдачи, макси­мальный и прогнозируемый отскок мяча), поэтому данное ме­сто удара было впоследствии названо «сладким пятном» (sweetspot), и это название закрепилось как устоявшийся на­учный термин. Агашин дал определение центра удара ракетки (центра перкуссии) как «середины эллиптической мембраны», т.е. середины СПР (т.к. теннисисты бьют мяч серединой СПР). Кроме того, он предположил, что центр удара «соответству­ет узлу распространяющихся вдоль ракетки волн звукового диапазона», т.е. узлу стоячих волн ооода ракетки. Возможно для деревянных ракеток это условие и соблюдалось, но для современных ракеток с большими размерами СПР данное ус­ловие без специальных конструкционных мер выполнить труд­но. Из-за значительно возросшего, по сравнению с деревян­ными, ракетками размером обода, центр СПР графитовых ра­кеток лежит ниже узла колебаний (см. рис. 4.5).

Как уже указывалось, Агашин ввел понятие «индивидуаль­ного параметра теннисиста s, представляющего собой диаго­наль ладони спортсмена, идущую от дистальной головки вто­рой пястной кости к проксимальной части гипотенора», и определил его положение и размер (10 см от пятки ракетки) [1]. Надо заметить, что в настоящее время единственный пас­портизируемый момент инерции ракетки Isw измеряется именно от этой точки. Но самое замечательное, что сделал Агашин, — он разработал научный подход к конструированию ракеток. Какие его основные идеи, кстати, не потерявшие актуальнос­ти и в настоящее время?

Первая идея Агашина. Он предложил так распределять массу ракетки при конструировании, чтобы точка отсутствия отдачи, названная им ноль-точкой (0 -точка), совпала с «инди­видуальным параметром теннисиста» s, т.е. располагалась на расстоянии 10 см от пятки ракетки (или, по крайней мере, где- то под кистью теннисиста). Видимо, будучи мастером спорта по теннису, Агашин хорошо прочувствовал отсутствие или наличие отдачи ракетки на собственной руке.

0 -точка — это известная в механике сопряженная точка упругого конечного стержня, связанная с точкой удара следу­ющим соотношением: / = М-х-у, в котором:

I — центральный момент стержня при вращении его вокруг центра масс;

х — расстояние от точки удара до центра масс;

у — расстояние от центра масс до 0-точки;

М — масса стержня.

Почему в 0-точке нет отдачи пояснено на рис. 4.4.

Если мы ударим находя­щийся в невесомости метал­лический стержень в указан­ной на рисунке точке, то он, под действием силы удара со­вершит сложное движение, которое можно разбить на два простых: вращение вок­руг собственного центра масс (показано пунктиром) и па­раллельное перемещение са­мому себе (трансляцию). В результате удара через некоторое время стержень примет по­ложение, при котором у него будет единственная точка не пе­реместившаяся в результате удара, «это т.н. «ноль-точка» (по терминологии Агашина) в которой нет отдачи. Подобное фи­зическое явление происходит и при ударе мяча в СПР.

На рис. 4.5 приведено положение особых точек на ракетке. Перекрестие означает геометрический центр СПР, в который приходится большинство ударов мяча, поэтому эта точка на­зывается центром перкуссии (Ц.П.). Сопряжение центра пер­куссии с точкой нулевой отдачи (0-точкой) показано условно косой линией. Это сопряжение выражается приведенной выше формулой /у =М-х-у. Т.к. /у = M-R², где R — радиус инерции ракетки, то R² = х-у и у = R²/x,. Как видно из последнего урав­нения 0-точка и центр перкуссии связаны обратной зависимо­стью, т.е. с увеличением у уменьшается х (например, смещая точку удара в сторону верхуш­ки ракетки, мы тем самым пе­ремещаем 0-точку ближе к центру масс ракетки, что ве­дет к возникновению ощути­мых импульсов отдачи в руке теннисиста).

И, наконец, s — это инди­видуальный параметр кисти теннисиста, проще говоря — ширина ладони, которой Ага­шин приписал вполне опреде­ленный анатомический размер, равный 10 см (от проксималь­ной части гипотенора до ос­
новной фаланги указательного пальца). Место, где указатель­ный палец удерживает ракетку, Агашин назвал точкой опоры, т.к. именно в этой точке на кисть теннисиста приходится наи­большая нагрузка.

Идея Агашина заключалось в том, чтобы создавать ракет­ки, для которых выполнялось бы равенство у = а — s, т.е. 0- точка совпадала с точкой опоры S. а — это расстояние от пятки ракетки до центра тяжести (Ц.Т.). Условие можно выполнить, если центральный момент инерции ракетки будет равен /у = М-х-(а — s). Заменяя /у на паспортизованный момент Isw = ly + (а — s)² М, получим известную формулу Агашина

Isw = Мх(а -s) + М (а-s)² = М(а — s)(x + a- s),                     (4.1)

которую можно выразить через радиус инерции ракетки R_sw относительно точки s. R²_sw = (а — s)( х + а — s). Таким образом задача конструирования сводится к созданию такого распреде­ления массы ракетки р (х), которое бы обеспечивало необходи­мый радиус инерции R_sw равный квадратному корню из (а — s) (х + а — s). При правильно сконструированной ракетке ноль- точка совпадает с точкой опоры, т.е. находиться в 10 санти­метрах от пятки ракетки.

В 60-х годах 20 века Агашин придумал и запатентовал при­бор маятникового типа АС-1 для нахождения положения ноль- точки на ракетке [21], который позволял определять ее положе­ние с точностью ±2 мм. Позже Агашин усовершенствовал этот прибор (АС-2). Учитывая все это, можно с полным правом особую точку нулевой отдачи назвать точкой Агашина (ТА).

Приборы Агашина позволяли проверять правильно ли скон­струирована ракетка, т.е. находится ли точка нулевой отдачи под кистью теннисиста. Ими можно с успехом тестировать и современные ракетки, тем более что сейчас столько подделок, в которых не выполнены даже элементарные правила констру­ирования спортивного инвентаря. Впрочем, для современных ракеток момент вращения паспортизуется, поэтому ТА можно вычислить решая систему уравнений /_у = Мх-у и l_sw = l_y + (a- s)² М, в которых все величины кроме у известны или их можно изме­рить, поэтому у определяется математически:

y = (l_sw/M-(a-s)²)/x.                                (4.2)

Если полученное значение у равно или, по крайней мере, чуть больше a-s, то ракетка сконструирована правильно. Если
у ракетки неизвестен l_sw, то, определив положение ТА на ракетке, можно по фор­муле 4.1 найти величину этого момента без дорогостоящих измерений на станке Racquet Diagnostic Center.

Вторая идея Агашина заключалась в создании такой ракетки, у которой были бы равны «плечи» х = у. Однако данная идея оказалась мертворожденной, т.к., во- первых, автор не довел математическое решение этой задачи до практической ре­ализуемости, а показал лишь пути реше­ния проблемы, а, во-вторых, для совре­менных ракеток с большой СПР выпол­нение данного соотношения означало бы значительный сдвиг центра масс ракетки в сторону ручки. Привело бы это к улуч­шению игровых качеств ракетки — спор­ный вопрос, т.к. далеко не все теннисис-                                                 р_ис. 4.6

ты играют ракетками с балансом в ручку. Прибор Агашина

Третья идея Агашина — сконструи­ровать ракетку так чтобы импульс отдачи, возникающий в руч­ке ракетки, не увеличивался бы резко при нецентровых уда­рах, что очень важно для профилактики травм. Такое условие можно реализовать при слабой зависимости у от х в уравне­нии 4.2, т.е. dx / dy ~ const, которое выполняется «сползани­ем» на нижнюю ветвь гиперболы 4.2, где значения х > у. По мнению Агашина, данная цель «достигается уменьшением у и увеличением l_sw».

Даже только за эти идеи Агашин достоин памяти, хотя они составляют малую часть новаций, которые были им разработаны за не очень большой период жизни, отведенный ему судьбой.

Теперь поговорим об вполне устоявшемся термине «слад­кое пятно ракетки» (sweetspot), который многие определяют по-разному. Вот самое полное и, по-моему, наиболее точное определение: «Sweetspot: Simply put, the area of a strung racquet that provides the greatest energy return (power) and accuracy with the least amount of shock or vibration.

There are actually 3 sweetspots:

Sweetspot 1 is the Center of Percussion (COP) and offers the least amount of initial shock to the hand when struck. Shock is generally accepted as being potentially most harmful to player’s arms. (Центр перкуссии).

 

Sweetspot 2 is the Nodal Point (or Node) and produces the least amount of vibration when struck. Frame vibration is what players feel after ball contact (lingering, low-level oscillation) in certain (generally more flexible) racquets. While uncomfortable, frame vibration doesn’t pose the same injury risk that frame shock does and can be effectively reduced with handle systems, such as Dunlop’s ISIS and Prince’s Cushion Grip. (Узел вибраций).

Sweetspot 3 is the area of Maximum Coefficient of Restitution, or a racquet’s power. It is the lowest of the 3 sweetspots. Location of sweetspot is determined by several factors, including racquet weight, balance, length, headsize and string tension!» (Макси­мум отскока), http://www.racquetmaxx.com/equipment.shtml

Как видно из цитаты, в «сладкое пятно» принято объеди­нять три отдельных «сладких пятна»: центр перкуссии (т.е. геометрический центр СПР), узел стоячих волн колебаний ракетки, расположенный немного выше центра перкуссии, и точку максимального отскока мяча от СПР, которая лежит ниже центра перкуссии. Естественно, что все эти точки соединены между собой прямой линией определенной длины, лежащей на продольной оси ракетки. Если мяч при ударе попадает на эту линию, то теннисист получает определенные «блага»: либо максимальный отскок мяча (попал в точку максимального от­скока), либо отсутствие отдачи в кисти (попал в центр пер­куссии), либо уменьшение вибраций ракетки (попал в узел вибраций). Ну а если удар несколько отклонился от «слад­кой» линии? Тогда «блага» начинают уменьшаться и особенно быстрыми «темпами» если отклонение происходит в попереч­ном направлении от оси ракетки. Насколько мне известно, было решено ограничить «сладкое пятно» ракетки некоторыми «рамками» в пределах которых отскок мяча падает не более чем на 5% от своего максимального значения в данной плоскости. При этом получается уже не «сладкое пятно», а «сладкая об­ласть», однако термин и для расширенного пятна остался тем же, т.е. под «сладким пятном» понимают некоторую область,, включающую все три перечисленные точки ракетки.

Как же определить размеры «сладкого пятна», ведь в рек­ламных буклетах фирмы постоянно заявляют об увеличении его размеров? Прежде чем говорить об измерении этого физи­ческого параметра надо бы его наиболее полно отобразить гра­фически. Из определения сладкого пятна ясно, что оно долж­но включать 3 точки, лежащие на центральной оси ракетки, следовательно, продольный размер сладкого пятна определя­
ется расстоянием между узлом вибраций (УВ) и точкой наи­большего отскока мяча. У В ракетки достаточно точно иденти­фицируется на специальном оборудовании. Что же касается точки максимального отскока, то она тоже определяется про­сто: ведь коэффициент отскока, как будет показано в следую­щих главах, растет с увеличением жесткости ракетки. А жест­кость ракетки, как известно, при прочих равных условиях, растет с уменьшением ее длины. Поэтому жесткость будет воз­растать при приближении точки удара к ручке ракетки. Это легко поясняется следующим простым опытом. Если прижать один конец ученической линейки к столу и нажать пальцем на противоположный конец, то палец встретит некоторое сопро­тивление прогибу (т.е. палец ощутит жесткость линейки). По мере приближения пальца к прижатому концу линейки сопро­тивление прогибу будет увеличиваться (жесткость возраста­ет). Аналогично и жесткость ракетки увеличивается по мере приближения точки удара к шейке. Однако теннисисты не иг­рают шейкой ракетки, ограничивая свои удары поверхностью СПР, поэтому точка максимального отскока лежит приблизи­тельно в трех сантиметрах от нижней границы СПР. (Три сан­тиметра — это необходимый запас на размер мяча, чтобы он не попал в обод ракетки).

Функция коэффициента отскока представлять собой слож­ную объемную (3D) фигуру, при пересечении которой СПР на уровне пятипроцентного падения максимального значения ко­эффициента отскока в данной плоскости и образуется граница «сладкого пятна». Назовем эту пространственную фигуру фун­кцией распределения коэффициента отскока по поверхности СПР. Сечение этой функции плоскостью перпендикулярной СПР и совпадающей с продольной осью ракет­ки изображено на рис.

4. 7. Это т.н. «хребет» функции, от которого отходят «ребра», т.е. кривые падения коэффи­циента отскока в данной плоскости.

«Хребет» функции распределения коэффи­циента отскока имеет
следующие ориентировочные (для каждой ракетки они раз­ные) значения коэффициентов отскока:

0,2 — в точке узла вибраций;

0,35 — в точке перкуссии;

0,5 — в точке максимального отскока ракетки.

Точки пересечения этой кривой с СПР будет определять продольный размер сладкого пятна ракетки. Как видно из рис. 4.7, этот размер составляет достаточно большую часть про­дольного размера СПР (Lcnp).

Коэффициент отскока резко уменьшается при отклонении удара от продольной оси ракетки. Это происходит по двум причинам. Во-первых, уменьшается эластичность СПР (т.к. струны становятся короче), а, во-вторых, из-за того, что акси­альный момент 1х значительно меньше момента вращения Isw, поэтому ракетка будет меньше сопротивляться удару при от­клонении его от продольной оси. Многие замечали, что когда

мячик ударяется сбоку от продольной оси ракетки, то отскок мяча существенно падает. Сечение функции распределения коэффициен­та отскока плоскостью, пер­пендикулярной продольной оси ракетки и проходящей через центр перкуссии изображено на рис. 4.8. Если мяч попадает в боко­вую область функции распределения коэффициента отскока, то его отскок уменьшается, а вектор скорости отклонится в сторону центральной оси ракетки, причем угол отклонения от нормали тем больше, чем дальше от оси произошел удар.

Dcnp — это наибольший размер СПР в поперечном направ­лении.

Как было определено выше, линия пересечения функции распределения коэффициента отскока с СПР определяет гра­ницы «сладкого пятна». См. рис. 4.9, на котором обозначены ЦП — центр перкуссии, МО — точка максимального отскока, У В — узел вибраций.

Что же происходит со «сладким пятном» когда «садятся» струны?

Так как динамическим нагрузкам больше подвержены цент­ральные струны, то они «садятся» быстрее, повышая коэффи­
циент отскока. Тем самым параболоид отскока вытягивается вверх, что приво­дит к уменьшению площади «сладкого пятна», а это, в свою очередь, способ­ствует увеличению ошибок (т.к. тенни­сист, привыкший к определенному раз­меру «сладкого пятна», чаще начинает выходить за его пределы). Представьте профессионала, который вознамерился «положить» мяч в угол площадки со­перника в полуметре от боковой линии.

Однако в результате изменения разме­ра «сладкого пятна» точка удара оказа­лась вне его, в результате чего мяч силь­но отклонился вверх, при этом еще уве­личил скорость отскока (т.к. ослабла натяжка СПР), что при­вело к увеличению дистанции полета и попаданию мяча в аут. Ощущение не из приятных: вроде бы делаешь все правильно, а число ошибок растет, управляемость ракетки падает. Про­фессиональные теннисисты привыкают к своей ракетке как к жене и очень чувствительны к изменению ее параметров, осо­бенно к изменению размеров «сладкого пятна».

Влияет ли ослабленная СПР на кручение мяча? Многие теннисисты отвечают на этот вопрос положительно, притом отмечают, что ослабленные струны хуже «крутят». Однако фи­зики утверждают обратное: ослабленные струны лучше «кру­тят». В чем же тут дело? А дело в том, что теннисисты оцени­вают кручение по результату удара, а это означает, что они оценивают относительную величину кручения мяча (т.е. ко­личество оборотов мяча на единицу дальности его полета). Образно говоря, теннисиста не интересуют сверхкрученые мячи, которые не долетают до сетки, он оценивает не угловую ско­рость вращения мяча со, а относительную угловую скорость вращения мяча со / V_u (количество полных оборотов мяча на метр его полета), где V — линейная скорость мяча. Если ос­лабляется натяжка СПИ то V_u увеличивается, в то же время увеличивается и со (из-за увеличения поверхности трения СПР о мяч). Оба эффекта как бы уравновешивают друг друга, но…. все-таки знаменатель этого соотношения растет быстрее с па­дением натяжки струн, чем числитель, поэтому теннисист чув­ствует, что относительная величина кручения стала меньше у «севших» струн, хотя абсолютная скорость вращения мяча и увеличилась. Мяч стал вращаться быстрее, но лететь еще бы­

 

стрее, поэтому у теннисиста создается ощущение уменьшения степени кручения.

Таким образом, на ракетке находятся 5-6 замечательных точек:

• узел вибраций (У.В.);
• центр перкуссии ( Ц.П.), удар мяча по которому не дает отдачи в кисть теннисиста;
• Точка максимального отскока мяча (эти 3 точки объеди­няются в одно понятие — «сладкое пятно» ракетки);
• центр тяжести ракетки (Ц.Т.);
• точка Агашина (ТА) или 0-точка (сопряженная с цент­ром перкуссии точка нулевой отдачи);
• точка опоры s, зачастую совпадающая с точкой Агашина.

Ударится мяч в первую замечательную’ точку ракетки — не

будет вибраций, во вторую — теннисист не почувствует им­пульса отдачи в руке, в третью — отскочит с наибольшей ско­ростью. Почти как в сказке. Как в сказке происходит иногда и расширение «сладкого пятна» производителями ракеток. В рекламных буклетах пишут иногда такие вещи… кажется вот- вот еще немного фантазий маркетологов и «сладкое пятно» выйдет за пределы СПР. Все это возможно потому, что пока нет установленной методики измерения и нормирования раз­меров «сладкого пятна» ракетки. Имеются исследовательские установки, которые позволяют измерять коэффициент отско­ка в разных точках СПР (например, в [2]), при помощи кото­рых, в принципе, можно определить границы «сладкого пят­на» ракетки, но, как и всяким исследовательским установкам, не предназначенным для массовых измерений, им присущи определенные недостатки.

Исследования показывают, что у наиболее качественных ракеток «сладкое пятно» достигает 100см² и имеет форму вы­тянутого вдоль оси ракетки овала. Нижняя часть овала шире верхней, что придает «сладкому пятну» яйцеобразную форму. Размеры осей яйцеобразного овала достигают величин до 20 см вдоль и до 10 см (в самой широкой части) поперек продольной оси ракетки.

Некоторые исследователи считают, что особые точки СПР надо различными конструкционными ухищрениями совмещать, (см., например,[22]). Другие считают, что это приведет к уни­фикации ракеток и ограничит возможности теннисистов. В общем, исследования продолжаются.