КОЭФФИЦИЕНТ УДАРА Понятия

4. коэффициента удара и кпд удара

Ракетка — это инструмент теннисиста, которым он наносит удары по мячу, поэтому физика данного явления описываются таким разделом механики как теория удара.

Рассмотрим основные определения и соотношения теории удара. На рис. 5.1 схематично изображено столкновение (удар) двух упругих тел 1 и 2. Основными признаками упругого уда­ра являются два — это 1) время удара, которое чрезвычайно мало, и 2) развивающиеся на площадках контакта силы, кото­рые очень велики.

Рис. 5.1

 

Кроме упомянутых выше площадок контакта, удар характе­ризуется еще плоскостью удара, касательной к точкам сопри­косновения непосредственно перед ударом, и линией удара, перпендикулярной плоскости удара и проходящей через ука­занные точки соприкосновения тел.

Если центры масс соударяющихся тел лежат на линии уда­ра, то удар называется центральным, в противном случае — нецентральным. Если векторы скоростей центров масс V₁ и V₂ перед ударом были направлены параллельно линии удара, то удар называется прямым, в противном случае — косым. Если хотя бы одно из соударяющихся тел имеет связь с иным телом 3, то удар называется связанным. Если упругое тело соударя­ется одновременно с несколькими упругими телами, то такой удар называется кратным.

Теперь, уважаемые читатели, попробуйте классифицировать теннисный удар. Мне кажется не многие из вас дадут правиль­ное определение, которое звучит так: столкновение ракетки с мячом — это, в общем случае, нецентральный, косой, связан­ный и кратный удар.           у

Нецентральный — потому что центры масс ракетки и мяча не лежат на линии удара. Косой — потому что векторы скорос­тей, в общем случае, не параллельны линии удара. Связанный — потому что ракетка всегда связана с теннисистом. И, наконец, кратный — потому что в ударе участвуют три упругих элемен­та: мяч, СПР и обод ракетки, имеющие разные коэффициенты жесткости.

Составление уравнения такого удара — вещь достаточно сложная, поэтому нужно рассмотреть некоторые его частные случаи, которые позволят сделать какие-то выводы из упро­щенного анализа, а далее можно постепенно усложнять про­цесс. В связи с этим будем рассматривать только плоские уда­ры, характеризующиеся тем, что вектор скорости ракетки про­ходит через центр массы мяча. Кроме того в анализе будем использовать не центр масс ракетки, а приведенный центр масс ракетки, расположенный в центре перкуссии. Поэтому точка удара должна совпадать с центром перкуссии ракетки и это принципиально, т.к. любое смещение точки удара от цент­ра перкуссии влечет за собой изменение коэффициента удара. Также временно исключим связь ракетки с рукой и корпусом теннисиста. Такие допущения позволяют рассматривать удар прямым, центральным, несвязанным и кратным. Конечно, в дальнейшем, при составлении уравнения удара ракетки, чтобы не получить неадекватных результатов, придется учитывать связь ракетки с теннисистом, т.к. рука непосредственно при­нимает участие в ударе, притом ее масса в несколько раз пре­вышает массу ракетки, а скорость сравнима со скоростью руч­ки ракетки, т.е. энергия, передаваемая мячу рукой вполне срав­нимая с энергией, передаваемой мячу ракеткой. Ракетка, рука и корпус — это единый биомеханический аппарат спортсмена (БАС по Агашину), определяющий энергетику удара, следствием чего является не только величина скорости отскочившего от ракетки мяча, но и появление т.н. импульсивных реакций связи.

Что принципиально нельзя исключить из рассмотрения, так это кратность теннисного удара, т.е., к примеру, исклю­
чить упругие свойства обода ракетки. Как будет показано ниже, это приведет к значительному искажению физики удара и не­верным результатам.

Основным элементом, входящим в уравнение удара, кото­рый характеризует физические свойства соударяющихся тел, является коэффициент удара (его называют еще коэффициен­том восстановления). В англоязычной литературе — Coefficient of Restitution (COR). Этот коэффициент определяется в меха­нике для прямого центрального удара следующим образом [8]:

U2-U1               U1-U2

^e~Vi-V₂ ⁼      V1-V2

где V₁,V₂— скорости двух тел до столкновения; U₂, U₁ — ско­рости двух тел после столкновения.

Физическая сущность данного’ коэффициента вытекает из того факта, что он определяется как отношение относитель­ных скоростей соударяющихся объектов (друг относительно друга) до удара и после удара. Если соударяющиеся объекты абсолютно упругие, то относительные скорости их до и после удара не изменятся (нет потерь Карно). При этом е = 1 и удар называется упругим. Если после соударения объекты слиплись (их скорости оказались одинаковыми), то е = 0 и удар называ­ется неупругим. Для большинства реальных тел величина е не постоянна. Она зависит от относительной скорости тел пе­ред столкновением V_omH = т.е. от энергии столкновения,

или, другими словами, от величины сил сжатия, действующих на тела в момент столкновения.

В таблице 5.1 приведены (по величине убывания) коэффи­циенты удара некоторых тел при относительной скорости стол­кновения V_omH, равной (16-25) км/час. Шары и мячи, исполь­зованные для исследований, представлены на фото (рис. 5.2).

В качестве стеклянного шарика при экспериментах исполь­зовались шарик из нефрита весом 55 г (второй справа) и ша­рик из оникса весом 120 г (первый справа). Третий справа — это шарик из литой резины, а четвертый — из поролона.

При всей своей простоте и очевидности коэффициент удара достаточно сложное понятие, характеризующее и удар, и фи­зические свойства соударяющихся объектов. Хотя он и связан с упругостью тела, но не пропорционален модулю упругости Е. Это хорошо видно из таблицы 5.1.

Если какое-либо тело 1 сталкивается с абсолютно жестким телом 2, то в этом случае все энергетические потери удара происходят только в теле 1, т.к. абсолютно жесткое тело 2 не деформируется во время удара и, следовательно, не поглощает энергии (жесткостью называется способность противостоять деформации). В связи с этим коэффициент удара, получен­ный при таком столкновении можно считать параметром тела 1, характеризующим его восстановительные свойства, а абсо­лютно жесткое тело (с большим модулем Юнга) может слу­жить измерителем коэффициента удара других упругих тел, модуль Юнга которых намного меньше. Например, для опре­деления коэффициента удара теннисного мяча массой m его бросают с определенной высоты Н на шлифованный мрамор­ный или бетонный пол (жесткость которых очень высока) и измеряют высоту отскока h. Скорость мяча до и после отскока от пола находится из равенства потенциальной и кинетичес­кой энергии: mgH = mV₂²/2 u mgh = mU²/2. Разделив второе уравнение на первое, получим

 

(Очевидно V₁ и U₁ = 0). Потери Карно (тепловые потери) при данном ударе определим как разность потенциальных энер­гий до и после удара тН — mh = 1 — mh / тН = 1 — rj — 1- ej. Отношение потенциальных энергий до и после удара г] = mh/mH = ЫН = ej можно назвать кпд удара или кпд отскока.

Таким образом, чтобы измерить коэффициент удара любого упругого тела, надо произвести удар этого тела о такое тело, модуль упругости которого значительно выше модуля упруго­сти данного тела (аналог абсолютно жесткого тела). Если зак­репленная в тисках СПР сталкивается со стеклянным шари­ком, то всю энергию отскока шарик получает только за счет растяжения-сжатия СПР, поэтому измеренный коэффициент

 

удара этого столкновения будет характеризовать упругие свой­ства только СПР, т.е. будет параметром СПР. (Закрепить СПР можно не только зажимая ее в тисках, но и плотно прижав ракетку к полу, например, став ногой на шейку ракетки).

Так как каждому упругому телу можно приписать свой соб­ственный коэффициент удара, характеризующий упругие свой­ства только данного тела, то в таблице 5.1 такие коэффициен­ты удара обозначены одним индексом (без указания индекса абсолютно жесткого тела). Коэффициенты кратного удара обо­значены двойными индексами со знаком + между ними.

Как видно из таблицы 5.1, наименьший коэффициент удара у обода ракетки. Коэффициент удара мяча нельзя увеличивать — это норма ITF. Коэффициент удара закрепленной СПР уже почти доведен до максимума 95%. Поэтому у производителей

Таблица 5.1

№	Объекты	е	П	Е (кг/ мм2)	Примечание
1	Абсолютно упругие тела	1	1
2	Шары из стекла	0.95	0,9	7000
3	Шар из стекла и СПР	0.95	0.9		еспр v (СПР зажата)
4	Шар из литого каучука и бетон	0.9- 0.93	0.81-0.82	0.1
5	Шары из слоновой кости	0.9	0.81	4000
6	Теннисный мяч и СПР	0.86-0.89	0.74-0.79		еспр+мч (СПР зажата)
7	Теннисный мяч и бетонный пол	0.73-0.76	0.53-0.58		ем (норма ITF)
8	Обод ракетки, СПР и стеклянный шар	0,63	0,4		ЄСПР+о
9	Шары из дерева	0.5	0.25	1400
10	Обод ракетки	0.45	0.2	20000	ео (вычислен­ный)
11	Абсолютно неупру­гие тела	0	0

 

 

имеется два пути повышения мощности ударов: 1) увеличение коэффициента удара обода (за счет увеличения жесткости обо­да) и 2) уменьшение веса ракеток, чтобы теннисист смог раз­вить большую скорость разгона ракетки.

Низкий коэффициент восстановления ракеток объясняется наличием т.н. трамплинных колебаний обода, речь о которых пойдет в шестой главе.