Требования к теннисному мячу

Для мяча статический коэффициент жесткости к_н можно определить из норм ITF, которые требуют чтобы при сдавлива­нии мяча силой 8.165 кг величина его сжатия Ду находилась в пределах (0.56-0.73) см. Коэффициент жесткости мяча для диапазона наиболее вероятных Ду в первом приближении мож­но аппроксимировать линейной зависимостью вида к_н = А Ду, где А — постоянная величина. Физически это явление объяс­няется просто: со сжатием мяча он все больше твердеет (каж­дый кто сжимал мячик рукой, тренируя кисть, заметил это). Учи­тывая, что к_м = F/Ay, получим следующие значения аппроксима­ционных коэффициентов: А = F/Ду² = (27,36 — 35,6)кг/см².

Величина сжатия Ду пропорциональна относительной ско­рости столкновения, т.е. Ду -qV_omH (с/ — коэффициент пропор­циональности), поэтому можно утверждать, что с увеличением скорости столкновения возрастает жесткость мяча. Попытаем­ся найти зависимость Ду =qV .

Как известно кинетическая энергия мяча при ударе превращается в потенциальную энергию сжатия мяча, т.е.

= К ^ду²— Но это выражение справедливо при ударе мяча об абсолютно жесткую поверхность, которая не поглощает энер­гии мяча. При ударе мяча о СПР, часть энергии уйдет на растя­жение струн и изгиб обода ракетки. Распределение кинетичес­кой энергии между этими тремя «пружинами», весьма слож­ное. Оно зависит от жесткости каждой «пружины», т.е. от типа струн, силе их натяжки, жесткости обода и т.п. Предполо­жим, что мячу «досталось» только часть энергии //, причем ц <0,5, так как большую часть энергии отберет обод, как наи­менее жесткая пружина. При таких условиях можно записать /j.mV²_omH = к_и Ау². Из этого соотношения найдем Ауипод ста­вим его в к_м = А Ау , что даст к_м = А V_отн уIjum/k* или к_и³= (AV_omH)² тц. Далее, соблюдая размерности, получим ап­проксимационную формулу для зависимости коэффициента жесткости мяча от взаимной скорости столкновения его и СПР

к_и (кг/см) = 0.077А²‘³                  (км/час), (5.10)

где ц — коэффициент, учитывающий жесткость СПР и обода. Когда мяч ударяется об абсолютно жесткую поверхность, то // =1.

СПР

Из формулы 3.2 имеем k_cnp~(24/S) (F_h1 VS+ 2k ■ А у²). Как и для мяча приравняем Af7iV<w= кспр’Ау², где X — часть кине­тической энергии мяча, которая «досталась» СПР. Решая квад­ратное уравнение и учитывая размерности, получим

к_спр(кг/см) = 12 F_h1/VS+(124 FJ / S+48kmX / S- V_om²)° \ (5.11)

где V берется в км/час.

Обод

Согласно формуле 3.1 F_o = 3 Ay El_z/ L³ отклонение обода растет линейно с приложенной силой, поэтому, используя таб­лицу 5.2, можем записать: для мягкого обода F_o = 9 А у, а для жесткого обода F_g = 13Ау. Из этого соотношения вытекает, что коэффициент жесткости обода в пределах реальных ударов растет очень слабо. Аппроксимируем ее экспонентой вида

к_о = (9-13)(иг/см) (1- 1/ехрV_omH (км/час)).                  (5.12)

Кривые зависимости коэффициента жесткости мяча (точ­ки), обода (сплошные линии) и СПР (штрих-пунктир) от V_omH представлены на рис. 5.4.

Как видно из графиков, наибольший коэффициент жест­кости у СПР (штрих-пунктир), причем нижняя кривая — это СПР из кетгута, средняя — из нейлона, верхняя — из кевлара. Жесткость СПР заметно возрастает с ростом скорости удара. Кривые жесткости мяча (точки) построены для 2-х крайних значений норм ITF. Сплошные линии — это коэффициент же­сткости обода ракетки для 2-х крайних значений жесткости.

 

Как видно из кривых, до скорости 50км/час «работает» мяч,* кпд отскока которого выше кпд отскока обода (табл. 5.1). Да­лее начинает запасать энергию обод, а потом СПР.

Более показательны в этом отношении графики зависимос­ти отклонения Ду от приложенной силы F. А сила, как извес­тно, вызывается взаимными скоростями мяча, СПР и обода перед ударом, причем чем выше скорость, тем выше сила стол­кновения. Для мяча из кн = (27,36 — 35,6) Ду найдем F_u = (27,36 — 35,6) Ау². Для СПР Fcn_P = (24/S) (F_h1 VS + 2к-Ау²) Ay или, подставляя значения S = 600 кв. см. и F ₁ = 25 кг. , получим Fcnp ~ (24,5 +0.08к • Ау²) А у. Для обода г_о = (9-13) Ау.

Ниже (рис. 5.5) представлены зависимости силы F от от-*’ клонения Ау (принадлежность разметки линий сохранена). Три штрихпунктирные кривых для СПР — нижняя для кетгута, средняя для нейлона и верхняя для кевлара, две сплошные кривые для обода ракетки — нижняя для самого мягкого обо­да, верхняя для самого жесткого, и четыре кривые для мяча — точечные линии для статической жесткости, штриховые — для динамической (обе для крайних значений норм ITF).

Кривые очень интересны, они дают наглядную картину со­вместной работы мяча, СПР и обода ракетки. Согласно физике совместной работы пружин, чья кривая проходит ниже, тот элемент больше работает, т.е. больше поглощает энергии уда­ра, а затем отдает ее для разгона мяча.

Как видно из графика при слабых ударах (до 0.5 см сжатия или до 50км/час) должен работать, в основном, мяч (ниж­няя кривая), но в реальных условиях удара это не совсем так. Кривую упругости мяча, которая отражает т.н. статическую упругость, надо поднять значительно выше (штриховые ли­

 

нии), т.к. динамическая уп­ругость мяча (характерна для быстрых сжатиях, т.е. для реальных ударов) в два и более раза выше стати­ческой [11] . Но даже при этих условиях кривые мяча на начальном участке (до Ду = 0.3 см) проходят ниже кривых СПР (штрих-пун­ктир). И все же в реаль­ных условиях даже в на­чальной стадии сжатия ра­ботает СПР и обод, т.к. в первый момент удара образуется волна колебаний оболочки мяча, и его жесткость значительно воз­растает. Этот процесс продолжается до тех пор, пока мяч не со­жмется на Ду = 5мм (при скорости удара 50 км/час) и Ду = 15мм (при скорости удара 150км/час) [11].

Таким образом, при столкновении мяча с ракеткой больше всех работает обод ракетки и от того насколько он экономен (т.е. какой у него кпд отскока), настолько и выше будет ско­рость отскока мяча. Чтобы заставить в большей степени рабо­тать СПР, у которой очень высокий кпд отскока, надо поднять кривую обода на 15 пунктов (F_o = 28Ay), т.е. повысить жест­кость обода до 28кг на 1 см (в единицах жесткости RA это соответствует 168 пунктам). Пока что достигнуто 75-80 пунк­тов RA (расчеты сделаны из предположения линейной связи коэффициента жесткости и единиц жесткости RA обода ракет­ки). Нам остается только наблюдать, как быстро технологи справятся с этой задачей.