Определить коэффициент восстановления обода ео — это не такая уж и простая задача, даже несмотря на то, что многие из теннисистов «пытаются» это сделать, с силой ударяя ракетку о корт после проигранного мяча. Действительно, можно использовать традиционный метод: столкнуть обод с аналогом абсолютно жесткого тела и замерить величину отскока. Здесь же использовался расчетно-экспериментальный метод, заключавшийся в том, что сначала экспериментально измерялся ^0+СПР (п.8 табл.5.1), а затем по формуле 5.6 находилось значение г]о. Экспериментальное измерение ?70+спр оказалось менее трудоемким чем непосредственное измерение tjo. Таким образом, заменяя в формуле 5.6 мяч на обод, получим ^спр = (кспр % + К Чспр) / (К + кспр)’ и далее
% ~ (VСПР*о(ко + кспр) ко *1СПР} ^ кСПР (5.15)
Для исходных данных кСПР = 25кг/см, ко = 10кг/см, г/СПР = 0.9, г]с р+о = 0.4 получим т]о = 0,2. Коэффициент восстановления обюда определим извлечением квадратного корня из г)0 , т.е. ео = 0,45.
Естественно, что кпд обода падает с увеличением его веса, т.к. расходы энергии на колебания увеличиваются. Т.к. разброс масс современных ракеток лежит в пределах 30%, то можно предположить, что и разброс кпд обода будет не превышать этих пределов. Однако не все так просто: с увеличением массы обода ракетки уменьшается амплитуда вибраций, а, следовательно, бесполезные расходы энергии. Поэтому кпд удара обода незначительно падает с увеличением его веса. Величина вибраций зависит также от жесткости обода, которая для современных ракеток изменяется в довольно больших пределах (порядка 30%). Но и тут большого разброса в потерях энергии не наблюдается. Дело в том, что с увеличением жесткости обода амплитуда колебаний хотя и падает, но частоты спектра вибраций увеличиваются, а энергетические потери растут с ростом частоты. Так что разброс кпд в 15% и соответствующий разброс коэффициентов восстановления в 8% это наиболее вероятные разбросы этих параметров современных ракеток.
Аппроксимировать кривую зависимости коэффициента восстановления обода от скорости столкновения с мячом можно следующими экспонентами:
max ео=1/ехр (0,034 ■ VomJ (5.16)
и min ео = 1/ ехр (0,037 ■ VomH) .
Обод+СПР+мяч
Функция (5.8) позволяет определить зависимость коэффициента удара е3 от относительной скорости столкновения ракетки с мячом для тройной системы обод + СПР + мяч. Все водящие в нее переменные в той или иной степени зависят от скорости столкновения V , причем эта зависимость не постоянна, а определяется набором многочисленных факторов. Так функция krno(V ) зависит от типа струн и их силы на- тяжки, конструкции обода. Функцию kJvomH) в тех пределах скоростей Vomo, которые характерны для тенниса, можно считать линейной. И только функция ko(VomH) в ограниченных пределах скоростей VomH практически не зависит от VomH . Чтобы получить функцию f]3(VomH) или, соответственно, е3 (VomH), надо в формулу 5.8 вместо Т]^ f]cnpJ г]с подставить их аппроксимации 5.13,5.14, 5.16, а вместо к~ПР, к.коих зависимости от VomH, соответственно, 5.10, 5.11 и 5.12. Полученную грандиозную функцию можно назвать функционалом, т.к. в ней есть еще зависимость кспр от типа струн и конструкции обода. Меняя эти параметры, можно аналитически (без дорогостоящих экспериментов) исследовать поведение коэффициента удара тройной системы е3 при различных вариациях параметров ракетки, струн, мяча и скорости удара.
Зависимости коэффициентов удара мяча ем (точки), СПР еспр (штрих-пунктир), обода ео (сплошные линии) и тройной системы е3 (штриховые) от VomH представлены на рис. 5.6. Верхняя кривая е3 получена для СПР из кетгута с максимально жестким ободом, а нижняя кривая е3 — для СПР из кевлара с тем же ободом (мяч в этих расчетах имел максимальную жесткость, допускаемую ITF). Разница между коэффициентами удара очень жестких струн из кевлара и мягких струн из кетгута растет с увеличением скорости столкновения и при 150 км/час достигает порядка 7%.
Из графиков видно, что коэффициент удара системы ракет- ка-СПР-мяч е3 занимает некоторое среднее положение между коэффициентами удара ракетки, мяча и СПР, что, собственно, и должно происходить: высокий кпд удара СПР компенсируется низким кпд обода.
На рисунке 5.7 представлены те же кривые коэффициента удара обода, СПР и мяча что и на рис. 5.6, но кривые е3 (штриховые) вычислены для трех значений коэффициентов жесткости обода: внизу мягкий обод к= 9кг/см, средняя кривая — жесткий обод к= 13кг/см, верхняя кривая — гипотетический супержесткий обод к = 28кг/см. Из этих кривых видно, что даже супержесткий обод не повысит коэффициент удара системы более чем на 10%. Остается только надеяться, что супер- жеский обод повысит свой кпд удара не только за счет уменьшения уровня вибраций, но и за счет перевода нерезонансного трамплинного удара в резонансный (об этом речь пойдет в следующей главе).
| Рис. 5.6 |
Формула 5.8 позволяет получать различные девиации коэффициента удара в зависимости от тех или иных параметров обода, СПР и мяча и, таким образом, является прекрасным инструментом для оптимизационных задач. Здесь же приводить все возможные вариации параметров не имеет смысла, их слишком много и это перегрузит книгу информацией, которая не всегда нужна теннисистам.
Несколько слов о правомерности и погрешностях использованной для коэффициентов удара аппроксимации экспонентой. Действительно, строго говоря, надо было бы если и не представить исследование на эту тему, то хотя бы как-то обосновать принятый способ аппроксимации. Однако анализ погрешностей аппроксимации — это специальная исследовательская работа, а книга не является таковой, она, скорее, относится к научно-популярным изданиям. Цель ее — доступно изложить сложные физические процессы, происходящие во время теннисных ударов, и на основе этого материала предоставить не искушенным в физике читателям обоснованные рекомендации в таких прикладных вопросах как профилактика теннисных травм, подбор и настройка инвентаря, оптимизация теннисных ударов. Что же касается идеи аппроксимации коэффициента удара в теннисе экспоненциальной кривой, то она не нова (см., например, [13]. Там же представлены обоснование и анализ погрешностей предложенного способа аппроксимации.
