МЕХАНИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАКЕТОК

Вес. Эта характеристика легко поддается измерению и оз­начает силу гравитационного притяжения ракетки к Земле. Конечно, вес ракетки значительно влияет на ее параметры и особенно на психофизические. Вес ракетки принято указы­вать в граммах или унциях, хотя иногда используют и услов­ные обозначения (см. таблицу 2.1).

Таблица 2.1 Вес ракетки: 1)в граммах 2) в унциях 3)условное обозначение веса ракетки 1 390 и тяже­лее 380- 390 370- 380 360- 370 350- 360 320- 350 300- 320 280- 300 250- 280 220- 250 200- 220 2 14 13,5 13 12,8 12,5 11,5 10,5 10 9 8 7 3 Н-Тор мн М ML L SL XSL HS GR

 

В настоящее время приняты следующие градации психофи­зического воздействия веса ракетки на игрока:

• тяжелые ракетки — вес более 312 грамм (11 унций);
• средний вес ракетки — от 278 до 312 грамм (от 9,8 до 11 унций);
• легкие ракетки — от 255 до 278 грамм (от 9 до 9,8 унций);
• суперлегкие — легче 255 грамм (9 унций).

Баланс. Балансом называется положение центра масс ра­кетки. Если центр масс находится точно посредине ракетки, то ее называют «с центральным балансом». Если центр масс смещен в сторону головки, то такую ракетку называют «с ба­лансом в головку» (head-heavy). Если центр масс смещен в сторону ручки, то такую ракетку называют «с балансом в руч­ку» (head-light). Как правило, баланс измеряется расстояни­ем в сантиметрах от начала ручки до центра масс ракетки. Однако один абсолютный размер до центра тяжести ракетки ничего не говорит о балансе, нужно знать еще и расстояние до середины ракетки. Для того чтобы сразу одной цифрой пока­зать баланс ракетки положение центра тяжести обозначают нормированным расстоянием («попитами») от геометрическо­го центра ракетки. Каждый «пойнт» равен 1/8 дюйма (0,32 см), при этом положительные величины «пойнтов» означает баланс в ручку, отрицательные — баланс в головку, ну а 0, естественно, центральный баланс.

Игроки могут сами определить баланс ракетки. Для этого необходимо найти на ракетке середину ее длины и точку балан­са ракетки. Если точка баланса находится ближе к ручке чем середина ракетки, то это ракетка с балансом в ручку (head-light), в противоположном случае — с балансом в головку (head-heavy). Если обе эти точки совпали, значит ракетка с центральным ба­лансом. Максимальное смещение точки баланса от середины длины ракетки для современных ракеток, как правило, не пре­вышает 4 см (12 пойнтов). Обычные цифры — это (1-2) см.

Жесткость обода (stiffness). Этот параметр ракетки ха­рактеризует ее сопротивляемость изгибу в направлении пер­пендикулярном плоскости струнной поверхности. Обычно та­кой характеристикой для твердых материалов является т.н. модуль сдвига G, равный отношению касательного напряже­ния к углу искажения касательных плоскостей, по которым действует напряжение. Надо заметить, что даже для анизот­ропных материалов модуль сдвига не совпадает с модулем Юнга Е, но существует четкая зависимость между ними. Модуль сдвига определяется через модуль Юнга таким образом

G = ———— •

2(1*:})

где ■& — коэффициент Пуассона, равный абсолютному значе­нию отношения относительного сужения к удлинению мате­риала под нагрузкой. Однако характеризовать жесткость обо­да ракетки модулем сдвига карбопласта не совсем правильно, так как упругие свойства ракетки зависят не только от матери­ала, но и от конструкции обода. Поэтому разработчики и изго­товители ракеток приняли некий обобщенный показатель жес­ткости — способность обода противостоять усилию изгиба, при­ложенному к определенным участкам ракетки, но измеряют его по-разному. Так фирма Баболат измеряет жесткость раке­ток на своем фирменном станке The Babolat RDC (Racquet Diagnostic Center) (рис. 2.1, справа) и выдает значения жест­кости ракеток в единицах RA.

Рис. 2.1

 

Что это за значения и как их привязать к общепринятым единицам измерения жесткости, фирма не поясняет. Приво­дится только картинка и краткое описание измерений. Как видно из фотографии, ракетку изгибают у шейки (наиболее изгибаемом месте при ударе мяча), прикладывая усилие к се­редине обода, при этом мерой жесткости является величина отклонения верхушки ракетки, либо при стандартном откло­нении (например, 1 см) величина приложенной силы.

Другой метод измерения жесткости ракеток применяется на станке Pacific diagnostic machine (рис.1, слева). Ручку ракет­ки на длину 10 см жестко закрепляют в тисках, затем при помощи ручного винта отклоняют середину головки ракетки в перпендикулярном к плоскости ракетки направлении на вели­чину 1 см., при этом с помощью динамометра измеряют уси­лие, приложенное к середине головки ракетки, которое и бу­дет являться коэффициентом жесткости обода. Фирма тоже выдает жесткость ракеток в безразмерных числах DA. На дан­ном станке можно также измерять жесткость СПР и мячей.

Таблица 2.2 Категории жесткости Единицы . измерения Ф Гибкие Средней гибкости Средней жесткости Жесткие Очень жесткие RA < 55 55-60 60- 65 65-70 > 70 Кг на 1 см <9 9-10 10-11 11-11,7 >11,7

 

Значения жесткости DA и RA очень близки, но не совпада­ют полностью. Если исходить из описанной выше методики измерения на станке Pacific diagnostic machine, то эта цифры означают приложенное усилие к центру обода (в килограм­мах) которое отклоняет обод от первоначального положения на 1 см (в центре). Но тогда возникает вопрос: неужели обод выдерживает усилия в 50-80 кг.? (Представьте себе: взрослый человек может встать на середину ракетки, которая опирается в двух крайних точках на твердые опоры и она не сломается, а только прогнется на 1 см). Возможно ракетку прогибали на большую величину чем 1 см. Для установления истины давай­те сделаем расчет усилия прогиба по известной формуле [1] Ay = F L³_p /3El_z, в которой F— сила, приложенная к концу ракетки, L_p — длина ракетки, Е— модуль Юнга, l_g— момент инерции поперечного сечения ракетки. Откуда

ЗАуЕ1*_                                        (2.1)

^Ll

где момент / для двойного полого прямоугольного сечения размерами 2(fxl0 см приблизительно равен 0.33 см⁴. Модуль Юнга = 1000000 — 2000000кг/кв.см (таблица 1.1). При этих значениях для прогиба 1 см в районе центра головки (L_p =42см) получим значения силы от 13 до 27 кг. Расчет показал, что значения жесткости ракеток, даваемые фирмами, не является коэффициентом жесткости, равным величине силы, необхо­димой для прогиба ракетки в середине головки на 1 см. Окон­чательно вопрос прояснил простой эксперимент: ручка ракет­ки жестко закреплялась с заделкой 10 см от пятки, затем на центр СПР ставился груз и измерялось отклонение центра обода ракетки. Ракетка HEAD Liquidmetal Heat отклонилась на 1 см при нагрузке 10 кг, т.е. имела коэффициент жесткости обода в центральной части головки приблизительно 10 кг на 1 см, в то время как декларируемая фирмой Frame Stiffness рав­на 64 единицам RA для данной ракетки. Ракетка Vollmer parabolic VR 700, изготовленная из высокомодульного графи­та, имела жесткость обода в центральной части головки при­близительно 12 кг на 1 см. Следовательно, единицы RA и DA, действительно, являются некими условными единицами жес­ткости обода, приблизительный перевод которых в коэффици­енты жесткости можно сделать посредством деления после­дних на 6. При таком подходе весь диапазон величин RA и DA перекроется коэффициентами жесткости от 8 до 18 кг на 1 см. (см. таблицу 2.2, нижняя строка). Возможно единицы RA и DA — это жесткость ракетки, определенная Агашиным как произведение El_z = F L³_p/3Ay(кгм²). В этих единицах жесткость ракеток при L_p =42см уложится в пределы (20-30)кгм², а при

 

L_p =57см ,т.е. от конца закрепления ручки (10см) до верхуш­ки ракетки, будет укладываться в (60-80) кгм², что уже доста­точно близко к единицам RA. Как указал Агашин жесткость ракетки не постоянна по ее длине, «в действительности имеет место некоторая функция распределения жесткости по длине ракетки EIJx), причем наиболее важной и чувствительной час­тью этого распределения является участок головки ракетки» [1].

О важности жесткости обода для теннисиста говорил еще Агашин, он предложил метод конструирования спортинвента­ря (ракеток и клюшек) исходя из оптимизации распределения параметров их жесткости El_z(x) и массы р(х). Жесткость ракет­ки заметно влияет как на физические, так и психофизические качества ракетки. Во-первых, чем жестче обод, тем меньше потерь энергии на его изгиб, и, следовательно, мощней удар. Вот почему при переходе на графитовые ракетки так резко возросли скорости мяча, в том числе и при подаче. Во-вто­рых, чем жестче обод, тем меньше амплитуды вибраций и выше их частоты, а это уменьшает вероятность травм. Но с другой стороны жесткий обод требует мягких струн, иначе будет боль­шая отдача и повышенная травмоопасность.

Иногда производители ракеток в рекламных буклетах пи­шут, что гибкие ракетки нужны для тех, кто играет сильно кручеными мячами, так как они позволяют получать большее кручение. Этот факт не подтвержден научно, однако имеется связь между шириной профиля обода ракетки и ее жесткостью (чем шире профиль обода, тем жестче ракетка). А, как извест­но, при топспинах широкий обод ракетки нежелателен, так как увеличивает вероятность попадания мяча в обод. Поэтому любители топспинов предпочитают узкопрофильные ракетки, а они, естественно, гибче широкопрофильных.

Надо также заметить, что при натяжке струн жесткость ракетки понижается приблизительно на 5% [9].

Моменты

Моменты.. .Моменты.. .Моменты…

Не думай о моментах свысока…

В самом деле, в этой шутке есть некоторая правда, так как моменты (/₀ 1₁ /₂) вносят львиную долю в психофизические характеристики ракетки и поэтому очень важны для теннисис­та. Момент от латинского Momentum — движущая сила, тол­чок, побудительное начало. Для понимания этого термина не­обходимо иметь кое-какие знания из теоретической механики,

 

изучаемой в технических вузах в рамках предмета «Теория машин и механизмов» (сокращенно ТММ). Студенты недаром расшифровывают эту аббревиатуру как «тут моя могила», т.к. только что прошедшим курс матанализа юным академистам не легко дается насыщенный математикой предмет. Однако в ха­рактеристиках ракетки уже утвердилась такая величина как swingweight, поэтому волей-неволей разбираться с этим надо. Для начала разместим ракетку в декартовой системе коорди­нат и определим функцию распределения плотности ра­кетки (ФРП). Если каждому маленькому элементу объема dV = dx-dy-dz мы сопоставим какую-то массу dM, то тогда ФРП можно записать как dM(x,y,z,). Проще говоря, ФРП — это распределение плотности ракетки в пространстве коорди­нат XYZ. Естественно сумма (или тройной интеграл) всех этих элементарных масс dM даст суммарную массу ракетки М, со­впадающую в земных условиях с ее весом Р . Обозначим ФРП ракетки общепринятым символом р (x,y,z) и произведем над ФРП такую операцию: проинтегрируем ее по координате г, то есть сплющим ее по оси Z. Тогда элементарная масса dM объе­ма dx-dy-dz, переместится в плоскость ХОУ, а ФРП запишется как р(х,у). Такая функция уже наглядно представима в виде трехмерного графика, а главное, с ней можно оперировать без особых погрешностей в расчетах, потому что: а) ракетка сим­метрична относительно оси Z и б) ее максимальный размер по этой оси намного меньше аналогичных размеров по другим осям, то есть L_z« L_x L_y . Наглядно ФРП р(х,у) напоминает очертаниями ракетку при этом ось Z на рис. 2.2 надо заменить на р(х,у). Можно пойти еще дальше по пути упрощения — сплю­щить ФРМ и по оси У, получив р(х). Такая функция вполне пригодна для некоторых расчетов, и впервые (по крайней мере, в отечественной литературе) с ней оперировал Агашин [1].

Как было упомянуто выше, интегрирование ФРП дает мас­су (вес) ракетки. Этот интеграл иногда называют нулевым мо­ментом и обозначают 1₀

М = /р (х) dx = 1₀

Первым моментом называют в механике интеграл вида;

/, = /х р (х) dx = М ■ а

Где а — расстояние до центра тяжести (Ц.Т.) ракетки, а ин­тегрирование идет по всей длине ракетки, то есть от 0 до х = L_P.

Таким образом, первый момент — это обычный статический момент ракетки относительно ее начала (в англоязычной ли­тературе «pick-up» weight). Но в реальной жизни ракетку никто не держит за кончик ручки, поэтому этот теоретический мо­мент пришлось несколько изменить, то есть отсчитывать его не от конца ракетки, а от некоторой точки, находящейся в конце кисти игрока и отстоящей на расстоянии s от пятки ракетки. Точку s Агашин назвал «точкой опоры», а расстоя­ние от начала ракетки до точки опоры — «индивидуальным пара­метром теннисиста», определив его средний размер равным 10 см. Этот размер определяется «диагональю ладони спортсмена, идущей от дистальной головки 2-ой пястной кости к проксималь­ной части гипотенора» [1]. Первый момент от этой точки опреде­лится произведением Р_Р • (a-s), где Р_Р — вес ракетки. Но игрок ощущает не момент, а силу, которая действует на его кисть, когда он держит ракетку за ручку в горизонтальном положении (о си­лах, действующих на кисть игрока написано в гл. 9).

Все было бы хорошо, если бы нагрузки на кисть теннисиста этим и ограничивались, однако кроме статических нагрузок на кисть теннисиста действуют также и динамические, к рассмот­рению которых мы вскоре перейдем. В процессе игры движе­ние ракетки в руках теннисиста претерпевает сложные эволю­ции, описать аналитически которые весьма затруднительно. В теоретической механике для решения подобных задач исполь­зуют принцип суперпозиции, согласно которому любое слож­ное движение твердого тела в пространстве можно предста­вить суммой его поступательных и вращательных движений. Поступательное движение (трансляция) — это такое, при ко­тором все точки тела описывают одну и ту же траекторию и имеют в каждый момент времени одинаковые скорости и уско­рения. При таких условиях вся динамика ракетки может быть описана движением материальной точки, расположенной в центре тяжести ракетки и имеющей массу М, что, собственно, мы и делали выше, оперируя со статическим моментом ракет­ки. Все разнообразие вращательных движений ракетки может быть представлено вращением ее вокруг трех осей декартовой системы координат X’Y’Z’ с началом в центре тяжести ракетки (см. рис. 2.2) и суммой трансляций. Моменты вращения ра­кетки вокруг осей XY’Z’ носят название центральных момен­тов и характеризуют распределение массы ракетки в простран­стве. «Сплющенную» ракетку, имеющую ФРП р(х,у), можно представить тремя центральными моментами: полярным Lz и двумя экваториальными моментами /х и /у. Аналитически они выражаются следующим образом:

/у = ffx² р (х,у) dxdy — вращение вокруг оси У’

/X = //у² р.(х,у) dxdy — вращение вокруг оси X’ lz = /х + /у — вращение вокруг оси Z’

К этим уравнениям необходимо добавить следующие при­мечания:

а)  пределы интегрирования по X’ от — L_x/ 2 до ⁺ L_x/ 2 соот­ветственно по Y’ от — Л_у/ 2 до + L_y/2, где L_x и L_y — максимальные значения размеров ракетки по осям х и у.

б)  формулы приближенные, так как составлены для «сплю­щенной» ракетки, однако для практических нужд вполне при­годны; степень приближения можно оценить поделив L_z на L_x и L_z на L (то есть приблизительно 5-10%).

в)  /z > /у > /х;

г)  зная какой-либо центральный момент, например, /у, можно легко по теореме Штейнера определить момент /с вокруг лю­бой оси С, параллельной Y’ и отстоящей на расстоянии с от Y’ то есть /с = /у + с² М;

д)  зная центральные моменты lz, ly, 1х, можно определить любой центральный момент Is, расположенный под углами а,р,ук осям X, Y, Z’ по формуле Is = lx-cos²а + ly-cos²j3 + lz-cos²y;

е)  используя формулы примечаний г) ид), можно, в прин­ципе, определить моменты инерции ракетки вокруг любой оси вращения в пространстве по ее центральным моментам;

ж)  центральные моменты ракетки lz, ly, 1х в теннисной ли­тературе называют по проявлению их действия на руку тенни­систа во время удара; /у называют моментом отдачи (recoilweight), lx — аксиальным моментом (twistweight), a lz иногда называют полярным моментом; его также можно на­звать топспинным моментом (topspinweight), так как он про­является, в основном, при выполнении топспинов.

К сожалению, ни один из этих моментов не паспортизуется разработчиками. Такой чести удостоен только Isw (swingweight), т.е. момент вращения ракетки вокруг опорной точки s, находящейся на расстоянии 10 см от пятки ракетки.

Isw = /(х-Юсм)² р (х) dx.

Связь между Isw и /у легко определяется из теоремы Штей­нера [8]

Isw = /у + (а-10)² М = /х² р (х) dx + (а-10)² М.

Swingweight современных ракеток изменяется от 250 до 350 кг/кв.см. Почему именно Isw паспортизуется — не совсем ясно. По мне, так лучше бы разработчики давали два центральных момента /у и /х. Преимущества очевидные: во-первых, — это было бы полной характеристикой вращательных свойств ра­кетки, т.к lz и Isw легко находятся из первых двух моментов, во-вторых, измерение центральных моментов проще и, в-тре­тьих, центральные моменты более наглядны и понятны пользо­вателям. Покажем это.

Если первый момент /_} характеризует положение центра массы ракетки, то второй момент 1₂ (момент инерции) характе­ризует распределение плотности ракетки по пространству, по­этому аналогично среднеквадратичному отклонению в теории вероятности в механике ввели понятие радиуса инерции R. Любой момент инерции можно выразить через массу и радиус инерции следующим образом 1₂ = М R² . Если речь идет о цен­тральных моментах, то тог да радиусы инерции находятся из

 

Ry и Rx легко сравнимы с нормированными параметрами ра­кетки: первый с расстоянием до центра тяжести ракетки, а второй с поперечным размером головки ракетки.

Как же практически определять вторые моменты ракетки? Они, как ясно из формул, получаются интегрированием (сум­мированием) ФРП. Проблема получения ФРП — это доволь­но сложная задача (не пилить же ракетку на маленькие кусоч­ки), поэтому производители ракеток используют всякие кос­венные методы измерения моментов, например, с помощью физического маятника или крутильных весов. Измеряя пери­од затуханий колебаний свободно подвешенной ракетки или время торможения раскрученной до определенной скорости ра­кетки, можйо определить ее моменты инерции. При диагнос­тических центрах имеются специальное оборудование для из­мерения моментов вращения (Babolat Diagnostic Center, Alpha Accuswing).

Влияние моментов инерции на физические и психофизи­ческие характеристики ракетки огромно, поэтому моменты ста­ли основной областью внимания как разработчиков ракеток, так и ракетмейкеров, особенно при настройке ракеток. По сво­им физическим действиям моменты инерции аналогичны мас­се, то есть их можно назвать приведенной в руку теннисиста массой. Например, чтобы придать ракетке поступательное дви­жение теннисист должен приложить силу, пропорциональную произведению массы ракетки на ее ускорение. Чтобы придать ракетке вращательной движение теннисист должен приложить момент, пропорциональный произведению момента инерции на угловое ускорение ракетки. В свою очередь момент инер­ции пропорционален массе ракетки и радиусу инерции.

Подбор моментов инерции под игрока — это тонкая работа профессионала, который не только подбирает ракетку, но и настраивает ее, о чем подробней будет говориться в гл.12